La fórmula más notable en matemáticas
En una de sus famosas conferencias de física, Richard Feynman dedica una clase entera a lo que llama “una de las fórmulas más notables, casi asombrosas, de todas las matemáticas”. Explica que “desde el punto de vista del físico, podríamos presentar esta fórmula en dos minutos, y terminar con ella. Pero la ciencia es tanto para el disfrute intelectual como para la utilidad práctica, así que en lugar de dedicar unos minutos a esta joya, la rodearemos con su engaste adecuado en el gran diseño de esa rama de las matemáticas que se llama álgebra elemental”. La fórmula en cuestión es:
$$ e^{i\pi} + 1 = 0 $$
Esta expresión, conocida como la identidad de Euler, es celebrada por su concisión y su elegancia. En apenas siete símbolos une cinco de las constantes más fundamentales de las matemáticas: el número uno (1), el número cero (0), el número pi (\(\pi\)), la unidad imaginaria (\(i\)) y la base del logaritmo natural (\(e\)). ¿Cómo es posible que estén todas relacionadas en una sola ecuación? Para entenderlo, debemos remontarnos al origen del número \(e\).
El interés compuesto y el número e
Supongamos que depositamos una cantidad \(C\) en un banco que ofrece una tasa de interés anual \(t\), pagada una vez al año. Al final del primer año, la cantidad acumulada será:
$$ C(1 + t) $$
Si en cambio los intereses se capitalizan dos veces al año, el monto final después de un año será:
$$ C\left(1 + \frac{t}{2}\right)^2 $$
Y si los intereses se capitalizan \(n\) veces al año:
$$ C\left(1 + \frac{t}{n}\right)^n $$
¿Qué sucede si hacemos que \(n\) tienda al infinito, es decir, si los intereses se capitalizan continuamente? Obtenemos:
$$ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{t}{n}\right)^n = e^t $$
Aquí aparece por primera vez \(e\), el número que representa el límite del crecimiento compuesto continuo. Su valor numérico es aproximadamente 2.71828, pero lo que lo hace especial es su papel fundamental en el cálculo, el crecimiento exponencial y las ecuaciones diferenciales.
Euler y la conexión con la trigonometría
En su obra Introductio in analysin infinitorum (1748), Leonhard Euler dio un paso más allá al relacionar \(e\) con los números imaginarios y las funciones trigonométricas. A partir del desarrollo en series de potencias, demostró que:
$$ e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) $$
Esta fórmula, conocida como la fórmula de Euler, permite expresar exponenciales complejas en términos de funciones trigonométricas reales. Al sustituir \(x = \pi\), obtenemos:
$$ e^{i\pi} = -1 $$
Y al sumar 1 a ambos lados:
$$ e^{i\pi} + 1 = 0 $$
La identidad de Euler no es solo una curiosidad matemática. Encierra profundas conexiones entre distintas áreas del pensamiento: la geometría del círculo, los números complejos, el análisis matemático y la estructura misma del razonamiento matemático.
*Un puente entre mundos
Que \(\pi\), que representa la razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo, aparezca en una ecuación junto con \(e\) y \(i\), podría parecer a primera vista sorprendente. Pero todo cobra sentido cuando entendemos que los números complejos pueden representarse como puntos en el plano, y que multiplicar por \(e^{i\theta}\) equivale a rotar un punto un ángulo \(\theta\) en sentido contrario a las agujas del reloj.
La identidad de Euler, por tanto, no solo condensa cinco constantes fundamentales: también traza un puente entre el álgebra, la geometría y el análisis. Es una joya matemática no solo por su contenido, sino por la armonía que revela.
Conclusión
Feynman no exageraba al llamarla la fórmula más notable. En apenas una línea, encapsula siglos de descubrimientos, une conceptos de distintos dominios matemáticos y ofrece una visión profunda de la estructura del pensamiento racional. Como una obra maestra de la música o la poesía, la identidad de Euler resuena más allá de su contenido técnico: es un símbolo de la belleza intelectual.